أحدث الصور
من طرف Admin السبت ديسمبر 25, 2010 10:45 amPrime Elements and Irreducible Elements
تعريف
لتكن R حلقة إبدالية ذات محايد. نقول عن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أنه عنصر أولي prime element إذا تحقق التالي:
1. p ليس صفر ولا عنصر وحدة
2. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
نقول عن العنصر [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أنه غير قابل للتحليل irreducible إذا تحقق ما يلي:
1. q ليس صفر ولا عنصر وحدة.
2. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإما a عنصر وحدة أو b عنصر وحدة.
أمثلة
1. في الحلقة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] العناصر الأولية هي العناصر الغير قابلة للتحليل وهي الأعداد الأولية.
2. في الحلقة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عمليات الضرب الممكنة للعنصر [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] هي
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
لذلك [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] غير قابل للتحليل لن كل عملية ضرب هنا تضمنت عنصر من زمرة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] الوحدات
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
3. في الحلقة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] العنصر [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أولي وكذلك غير قابل للتحليل. إثبات هذا يحتاج إلى بعض الحسابات الجبرية الروتينية.
2. في الحلقة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عمليات الضرب الممكنة للعنصر [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] هي
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
لذلك [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] غير قابل للتحليل لن كل عملية ضرب هنا تضمنت عنصر من زمرة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] الوحدات
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
3. في الحلقة [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] العنصر [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أولي وكذلك غير قابل للتحليل. إثبات هذا يحتاج إلى بعض الحسابات الجبرية الروتينية.
حقائق متعلقة بالحلقة التامة
حقيقة1: في حلقة تامة R. إذا كان p غير قابل للتحليل فإن قواسمه هي عناصر الوحدة والعناصر المتشاركة معه فقط.
البرهان: إذا كان a عنصر وحده أو متشارك مع p فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وضوحا. من جهة أخرى إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي إما a عنصر وحدة وإما b عنصر وحدة ومنه ينتج أن a يشارك p.
مبرهنة2: إذا كان[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصر من حلقة تامة R فإن p غير قابل للتحليل إذا وإذا فقط كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية أعظمية.
البرهان: افرض أن p غير قابل للتحليل. إذا p ليس عنصر وحدة ولذلك [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية فعلية. إذا كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لبعض [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي إما c عنصر وحدة ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو d عنصر وحدة ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية أعظمية.
عكسيا, افرض أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أعظمية. إذا p ليس عنصر وحدة. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ولكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أعظمية. إذا إما [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه a عنصر وحدة وإما [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنها وباستخدام قانون اختصار الضرب ينتج [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه نجد أن b عنصر وحدة. إذا p غير قابل للتحليل.
حقيقة3: ليكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصرين من حلقة تامة.
1. كل عنصر متشارك مع عنصر أولي من R هو عنصر أولي.
2. كل عنصر متشارك مع عنصر غير قابل للتحليل في R هو عنصر غير قابل للتحليل.
مختصر البرهان:
1. إذا كان c غير قابل للتحليل و كان d متشارك مع c فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] حيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصر وحدة انظر العناصر المتشاركة. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي a عنصر وحدة أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصر وحدة ومن هذه الأخيرة فإن b عنصر وحدة لأن u كذلك. إذا d غير قابل للتحليل.
2. تبرهن بطريقة مماثلة.
حقيقة4: في الحلقة التامة R كل عنصر أولي هو غير قابل للتحليل.
البرهان: ليكن p أولي و لتكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا p يجب أن يقسم a أو b. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومن قانون الاختصار للضرب [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي أن b عنصر وحدة. بالمثل إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] نستنتج أن a عنصر وحدة. إذا p غير قابل للتحليل.
عكس هذه الحقيقة غير صحيح, فعلى سبيل المثال العنصر [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] في [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصر غير قابل للتحليل ولكنه غير أولي. تأكد من ذلك. على كل في مناطق المثالية الرئيسية العكس صحيح وهذا ما نبرهن عليه الآن.
مبرهنة5: إذا كانت R حلقة تامة كل و[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصر غير صفري فإن التقارير التالية متكافئة:
1. p عنصرا أوليا
2. [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية أولية
3. [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] حلقة تامة.
البرهان:
إثبات [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]: ليكن p عنصرا أوليا. افرض أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وحيث p أولي فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لبعض [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] والذي يثبت أن[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية أولية. عكسيا إذا كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية أولية فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا p ليس عنصر وحدة. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لأن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أولية. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وهذا يثبت أن p أولي.
إثبات [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]: ليكن p عنصرا أوليا. بما أن R إبدالية ذات محايد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فكذلك [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] إبدالية ذات محايد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. ليكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصرين [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. بما أن p أولي فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. أي أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وعليه فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] خالية من قواسم الصفر.
عكسيا إذا كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] حلقة تامة فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي أن p ليس عنصر وحدة. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فهذا يعني أن
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
ولكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] خالية من قواسم الصفر, إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وهذا يثبت أن p أولي.
البرهان: إذا كان a عنصر وحده أو متشارك مع p فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وضوحا. من جهة أخرى إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي إما a عنصر وحدة وإما b عنصر وحدة ومنه ينتج أن a يشارك p.
مبرهنة2: إذا كان[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصر من حلقة تامة R فإن p غير قابل للتحليل إذا وإذا فقط كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية أعظمية.
البرهان: افرض أن p غير قابل للتحليل. إذا p ليس عنصر وحدة ولذلك [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية فعلية. إذا كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لبعض [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي إما c عنصر وحدة ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو d عنصر وحدة ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية أعظمية.
عكسيا, افرض أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أعظمية. إذا p ليس عنصر وحدة. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ولكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أعظمية. إذا إما [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه a عنصر وحدة وإما [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنها وباستخدام قانون اختصار الضرب ينتج [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه نجد أن b عنصر وحدة. إذا p غير قابل للتحليل.
حقيقة3: ليكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصرين من حلقة تامة.
1. كل عنصر متشارك مع عنصر أولي من R هو عنصر أولي.
2. كل عنصر متشارك مع عنصر غير قابل للتحليل في R هو عنصر غير قابل للتحليل.
مختصر البرهان:
1. إذا كان c غير قابل للتحليل و كان d متشارك مع c فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] حيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصر وحدة انظر العناصر المتشاركة. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي a عنصر وحدة أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصر وحدة ومن هذه الأخيرة فإن b عنصر وحدة لأن u كذلك. إذا d غير قابل للتحليل.
2. تبرهن بطريقة مماثلة.
حقيقة4: في الحلقة التامة R كل عنصر أولي هو غير قابل للتحليل.
البرهان: ليكن p أولي و لتكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا p يجب أن يقسم a أو b. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومن قانون الاختصار للضرب [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي أن b عنصر وحدة. بالمثل إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] نستنتج أن a عنصر وحدة. إذا p غير قابل للتحليل.
عكس هذه الحقيقة غير صحيح, فعلى سبيل المثال العنصر [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] في [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصر غير قابل للتحليل ولكنه غير أولي. تأكد من ذلك. على كل في مناطق المثالية الرئيسية العكس صحيح وهذا ما نبرهن عليه الآن.
مبرهنة5: إذا كانت R حلقة تامة كل و[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصر غير صفري فإن التقارير التالية متكافئة:
1. p عنصرا أوليا
2. [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية أولية
3. [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] حلقة تامة.
البرهان:
إثبات [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]: ليكن p عنصرا أوليا. افرض أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وحيث p أولي فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لبعض [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] والذي يثبت أن[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية أولية. عكسيا إذا كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية أولية فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا p ليس عنصر وحدة. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لأن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أولية. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وهذا يثبت أن p أولي.
إثبات [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]: ليكن p عنصرا أوليا. بما أن R إبدالية ذات محايد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فكذلك [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] إبدالية ذات محايد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. ليكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] عنصرين [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. بما أن p أولي فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. أي أن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وعليه فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] خالية من قواسم الصفر.
عكسيا إذا كانت [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] حلقة تامة فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أي أن p ليس عنصر وحدة. إذا كان [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] فهذا يعني أن
[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]
ولكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] خالية من قواسم الصفر, إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أو [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وهذا يثبت أن p أولي.
حقائق متعلقة بمناطق مثالية رئيسية
مبرهنة6: إذا كانت R منطقة مثالية رئيسية فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] أولي إذا وإذا فقط كان غير قابل للتحليل.
البرهان: بما أن R تعتبر حلقة تامة فكل أولى p هو غير قابل للتحليل. لإثبات العكس افرض أن p غير قابل للتحليل, إذا p ليس صفرا وليس عنصر وحدة. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية فعلية. افرض أن[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. بما أن R مثالية رئيسية يوجد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومن ثم [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. بما أن p غير قابل للتحليل فإما c عنصر وحدة أو r عنصر وحدة. إذا كان c عنصر وحدة فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومن ثم يوجد s,t في R بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لأن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. أما إذا كان r عنصر وحدة فإن p,c متشاركان وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. ولكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومن ثم [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. وبهذا يثبت أن p عنصر أولي.
نتيجة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]7: إذا كانت R منطقة مثالية رئيسية وليست حقل[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] و [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] غير صفري وليس عنصر وحدة فإنه يوجد عنصر أولي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
البرهان: أولا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية فعلية لأن a ليس عنصر وحدة. بما أن R إبدالية ذات محايد, يوجد مثالية أعظمية [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] في R بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] راجع المثالية الأعظمية. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] كما أن p غير قابل للتحليل وفق مبرهنة1 وحيث R منطقة مثالية رئيسية فإن p أولي حسب مبرهنة6.
البرهان: بما أن R تعتبر حلقة تامة فكل أولى p هو غير قابل للتحليل. لإثبات العكس افرض أن p غير قابل للتحليل, إذا p ليس صفرا وليس عنصر وحدة. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية فعلية. افرض أن[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. بما أن R مثالية رئيسية يوجد [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومن ثم [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. بما أن p غير قابل للتحليل فإما c عنصر وحدة أو r عنصر وحدة. إذا كان c عنصر وحدة فإن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومن ثم يوجد s,t في R بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومنه [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] لأن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. أما إذا كان r عنصر وحدة فإن p,c متشاركان وبالتالي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. ولكن [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] ومن ثم [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة]. وبهذا يثبت أن p عنصر أولي.
نتيجة[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط]7: إذا كانت R منطقة مثالية رئيسية وليست حقل[ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذا الرابط] و [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] غير صفري وليس عنصر وحدة فإنه يوجد عنصر أولي [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة].
البرهان: أولا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] مثالية فعلية لأن a ليس عنصر وحدة. بما أن R إبدالية ذات محايد, يوجد مثالية أعظمية [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] في R بحيث [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] راجع المثالية الأعظمية. إذا [ندعوك للتسجيل في المنتدى أو التعريف بنفسك لمعاينة هذه الصورة] كما أن p غير قابل للتحليل وفق مبرهنة1 وحيث R منطقة مثالية رئيسية فإن p أولي حسب مبرهنة6.
