الآعدآد الصحيحه .. ’

الآعدآد الصحيحه :

الأعداد الصحيحة (بالإنجليزية: Integer‏)هي الأعداد التي لا تحتوي على كسور وعلى فاصلة مثل: (15.2 أو 4.5 أو 86.8 الخ)، وتعبر عن أعداد مكتملة بحيث لو تم تقسيم العدد الصحيح على واحد، يكون الجواب أيضاً عدداً صحيحاً، فمجموعة الاعداد الصحيحة تكون على النحو التالي ..... 3 ، 2 ،1, 0 ، -1 ،-2 ،-3 ......). يعتبر الصفر نقطة الوسط في مستقيم الأعداد الصحيحة وكل عدد صحيح أكبر من الصفر يكون موجباً في حين كل عدد صحيح أصغر من الصفر يكون سالباً. يشار إلى مجموعة الأعداد الصحيحة لدى الرياضيين بـ "ص"، وهو الحرف الأول من كلمة (صحيحة). أما في الترميز الإنكليزي فيرمز لها بالحرف Z وهو الحرف الأول من الكلمة الألمانية (Zhalen) والتي تعني عدد.

الخصائص الجبرية
مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة مغلقة بالنسبة لعمليات الجمع، الطرح، والضرب، وذلك لأن هذه العمليات عندما تجرى على أي عددين صحيحين فإنها تنتج أيضاً عدداً صحيحاً.
مجموعة الأعداد الصحيحة هي مجموعة غير مغلقة بالنسبة لعملية القسمة، حيث أنه ليس من الضروري أن تكون نتيجة قسمة أي عددين صحيحين أيضاً عدداً صحيحاً.
الجدول التالي يوضح الخصائص الأساسية لمجموعة الأعداد الصحيحية

الجمع الضرب
مغلقة a + b هو عدد صحيح a × b هو عدد صحيح
عملية تجميعية: a + (b + c) = (a + b) + c a × (b × c) = (a × b) × c
عملية تبديلية: a + b = b + a a × b = b × a
وجود عنصر حيادي a + 0 = a a × 1 = a
وجود عنصر نظير a + (−a) = 0
توزيع: a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
لا يسمح بالتقسيم على صفر: if ab = 0, then either a = 0 or b = 0 (or both)


الاعداد الصحيحة

1- مجموعة الأعداد الطبيعية ( الأعداد الصحيحة الموجبة ): ( ط* ) ( ط* أو ص+)
ط * = {1 ، 2 ، 3 ، 4 ، .... {

2- مجموعة الأعداد الطبيعية ومعها الصفر (ط) ومعها الصفر (ط)
ط = {0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ......{
ط º( ص+ + } صفر {)

3- مجموعة الاعداد الصحيحة السالبة (صـ )
صـ = }ـ1، ـ2 ، ـ3 ، ـ4 ، .... {

4- مجموعة الأعداد الصحيحة (ص)
ص= } ... ، ـ3 ، ـ2 ، ـ1 ، 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، .....{

5- مجموعة الأعداد النسبية (القياسية) / " ك "

: أ ، ب ' ص ، ب ¹ صفر }

ك ={

ويعني ذلك أن العدد النسبي هو كل عدد يمكن كتابته على صورة خارج قسمة عددين صحيحين بشرط أن المقام لا يساوي صفر .

، (3) حيث يمكن كتابتها على احدى الصور التالية

مثل :

، ( ـ2 ) حيث يمكن كتابتها على احدى الصور التالية

أو ....
6.ويتضح من ذلك أنه يوجد أعداد غير نسبية مثل


الجذور الصماء ...


والنسبة التقريبية ( p ) .... حيث لا يمكن كتابة أي منها على صورة العدد النسبي ..

7. مجموعة الاعداد الحقيقية ( ح )

وتشمل هذه المجموعة جميع الاعداد التي يمكن إدراك قيمتها منطقيا ... أي الاعداد التي يمكن تمثيلها على خط الاعداد فالعدد الحقيقي يمثله نقطه على خط الاعداد ، كما أن كل نقطه على خط الاعداد تمثل عدد حقيقي .

تعلمت أنّ : ص+ : مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة .

ص- : مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة .

ص0 : المجموعة التي تحوي الصفر .

ط : مجموعة الأعداد الطبيعية ( ط = ص+ U ص0)


والآن ماذا عن المجموعة التي تنتج عن اتحاد المجموعات الثلاث :
الصحيحة الموجبة والصحيحة السالبة ومجموعة الصفر ؟؟!!
ص+ U ص- U صفر



{ ....+3 ، +4 ، + 2 ، +1، 0 ، -1 ، -2 ، -3 ، ....}
ولكن ماذا نُسمي مجموعة الأعداد هذه ؟؟

ص = { .... ، +3 ، +2 ، +1 ، 0 ، -1 ، -2 ، -3 ، .... }


ص = مجموعة الأعداد الصحيحة وهي تضم (تحوي ) مجموعة الاعداد الصحيحة الموجبة ومجموعة الأعداد الصحيحة السالبة والمجموعة { صفر }
لاحظ أنّ :

+7 ينتمي ص ، وتقرأ موجب 7 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة .
-4 ينتمي ص ، وتقرأ سالب 4 ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة .
صفر ينتمي ص ، وتقرأ العدد صفر ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة .

" مجموعه الآعدآد الصحيحه السآلبه "

مجموعة الأعداد = { -1 ، -2 ، -3 ، -4 ، .... } هي مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة التي يرمز لها عادةً بالرمز ص
النقاط .... في هذه المجموعة تشير إلى استمرارية كتابة العناصر على نفس المنوال دون انتهاء .
هل هناك ما يُمكن أن نسميه أكبر الأعداد الصحيحة السالبة ؟
- كلآ , - نعم

وهل هناك ما يُمكن أن نسميه أصغر الأعداد الصحيحة السالبة؟

- كلآ , - نعم

وهل مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة مجموعة منتهية ؟؟

- كلآ , نعم

العدد -1 هو أكبر الأعداد الصحيحة السالبة. ولكن لا يمكننا تحديد عدد ما يكون أصفر الأعداد الصحيحة السالبة .




ماذا تعلمنا هنا ؟!!

-4 ينتمي ص وتقرأ سالب 4 ينتمي إلى -ص
+10 لآ ينتمي ص- ، وتقرأ موجب 10 لا ينتمي إلى ص-




" مجموعه الآعدآد الطبيعه "

أنت تعرف أن ص+ = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ......}

وأن ص0 = { صفر } .

النقاط .... في هذه المجموعة تشير إلى استمرارية كتابة العناصر على نفس المنوال دون انتهاء .
الآن يمكننا تكوين مجموعة جديدة ناتجة عن اتحاد المجموعتين ص+ و ص0

ص+ { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ......} U { صفر }
ص+ U ص0
ما هي هذه المجموعة الجديدة ؟ وماذا نسميها ؟

{0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ......}

نُسمي هذه المجموعة التي تضم مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ومجموعة الصفر بمجموعة الاعداد الطبيعية ويرمز لها عادةَ بالرمز ط .

ط = { 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، …..

لاحظ أنّ :

ط = ص+ U ص0



ـ هل هناك ما يمكن أن نسميه أصغر الاعداد الطبيعية ؟؟
- كلآ , - نعم

ـ وهل هناك ما يمكن أن نسميه أكبر الأعداد الطبيعية ؟؟؟
- كلآ , - نعم

ـ وهل مجموعة الأعداد الطبيعية مجموعة منتهية أم مجموعة غير منتهية ؟؟؟
- كلآ , - نعم


مجموعه الآعدآد الطبيعه تنقسم ألى
1- الصفر
2- الآعدآد الصحيحه الموجبه


الصفر :الصفر ليس عدداً صحيحاً موجباً .
وهو ليس عدداً صحيحاً سالباً .

وبالتالي نُكوّن المجموعة ص0 التي تحوي الصفر .

ص0 = { صفر } .

0 لآ ينتمي ص- ، وتقرأ العدد صفر لا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة السالبة .

0 لآينتمي ص+ ، وتقرأ العدد صفر لا ينتمي إلى مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة .

ص0 = { صفر }


الآعدآد الصحيحه الموجبه :

مجموعة الأعداد = { +1 ، +2 ، +3 ، +4 ، .... } هي مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة ويرمز لها عادةً بالرمز ص+ .


نقول : ص+ = { 1 ، 2 ، 3 ، 4 ، ......}

النقاط .... في هذه المجموعة تشير إلى استمرارية كتابة العناصر على نفس المنوال دون انتهاء .


هل هناك ما يُمكن أن نسميه أصغر الأعداد الصحيحة الموجبة ؟
- كلآ , -نعم

وهل هناك ما يُمكن أن نسميه أكبر الأعداد الصحيحة الموجبة ؟

- كلآ , - نعم
وهل مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة مجموعة منتهية ؟؟

- كلآ , - نعم

العدد 1 هو أصغر الأعداد الصحيحة الموجبة . ولكن لا يمكننا تحديد عددٍ ما يكون أكبر الأعداد الصحيحة الموجبة

+7 ينتمي ص+ ، وتقرأ موجب 7 ينتمي إلى ص+
-5 لآينتمي ص+ ، وتقرأ سالب 5 لا ينتمي إلى ص+