أحدث الصور
من طرف اوركيدا السبت أكتوبر 23, 2010 3:53 pmالقيمة المطلقة لعدد حقيقي (أو نظيمه)إذا كان س أي عدد حقيقي غير معدوم فإن أكبر العددين س، ـ س يسمى القيمة المطلقة للعدد الحقيقي س أو نظيم س ويُرمز لها بـ |س| أو‖س‖. أما إذا كان س=0 فإنه يكتب |\|=\، ينتج عن ذلك ما يلي: |س|= س إذا كان س Э ح+ و|س|=-س إذا كان س Эح- . |س×ع|=|س|×|ع|، |س+ع|≤|س|+|ع|، وذلك أياً كان س، ع Эح . ثم إن |س| =0 ó س=0 يعبر عما سبق بالقول: إن (ح،|0| ) حقل منظم.
خاصة التمام
يقال عن الحقل المنظم (ح،|0|) إنه تام إذا كانت كل متتالية كوشية في ح متقاربة (أي لها نهاية) في ح، حيث يقال عن متتالية (سن) من عناصر مـ أو ح إنها كوشية أو أساسية إذا تحقق ما يلي: مقابل أي عدد منطق أو حقيقي هـ > 0 يمكن أن يعين عدد طبيعي نهـ بحيث يقتضي تحقق المتراجحة ن≥ م ≥ نهـ تحقق المتراجحة |سن_سم|<هـ، ، ويقال عن متتالية (سن) من مـ (أو من ح) إنها متقاربة فيها إذا وجد عدد ل من مـ (أو من ح) بحيث يتحقق مايلي: مقابل أي عدد منطق أو حقيقي هـ > 0 يمكن أن يعين عدد طبيعي نهـ بحيث يقتضي تحقق المتراجحة ن ≥ نهـ تحقق المتراجحة |س_ ل| <هـ. يدعى هذا العدد ل نهاية المتتالية (سن)، ويكتب نهان !هـ سن= ل. ومن الواضح أن كل متتالية متقاربة في مـ (أو ح) تكون كوشية، وتنص خاصة التمام على صحة العكس في ح. العدد e
التقريب العشري لعدد حقيقي
استناداً إلى أرخميدية ح يمكن القول إنه أياً كان س Э ح فثمة عدد صحيح وحيد م يحقق م≤ س≤ م +1 يدعى الجزء الصحيح لـ س، ويكتب [س]=م. وعلى هذا فإن [3.14]=3 و [-3.14]= -4 وهكذا... ليكن الآن س عدداً حقيقياً ون عدداً طبيعياً. إن س×10ن عدد حقيقي، ولذا فإنه يوجد عدد صحيح وحيد من يحقق من ≤ س×10ن<1+من ومن ذلك ينتج أن من × 10-ن ≤ س< (1+من)×10-ن يدعى العدد سن =من ×10-ن القيمة العشرية التقريبية للعدد س (بالنقصان) [بينما ندعو صن = (1+من) × 10-ن القيمة العشرية التقريبية للعدد س بالزيادة] وبخطأ لايتجاوز 10-ن. ويشار هنا إلى أن المتتاليتين (سن) و(صن) متجاورتان، أي أنهما تحققان مايلي: سن≤س ن+1 ≤ ص ن+1 ≤ صن وَ نها ن!¥ (صن- سن) = نهان!¥ 10-ن = \ ويقتضي ذلك أن كل عدد حقيقي هو نهاية لمتتالية من عناصر مـ. يعبر عن ذلك بالقول: إن مـ كثيفة في ح.
التمثيل الهندسي للأعداد الحقيقية
يمكن أن تمثل مجموعة الأعداد الحقيقية بنقط مستقيم كما يلي: لتكن أولاً نقطة م على مستقيم D (يسمى المستقيم العددي) ويمثل بها العدد الحقيقي صفر (0)، ثم تؤخذ نقطة ثانية و(على يمين م مثلاً) ويمثل بها العدد الحقيقي واحد (1). ويقبل أنه يمكن أن يقابل أي عدد حقيقي س بنقطة وحيدة تدعى صورة س، كما يمكن أن تقابل أي نقطة هـ من D بعدد حقيقي وحيد سهـ يدعى فاصلة النقطة هـ.
[center]
خاصة التمام
يقال عن الحقل المنظم (ح،|0|) إنه تام إذا كانت كل متتالية كوشية في ح متقاربة (أي لها نهاية) في ح، حيث يقال عن متتالية (سن) من عناصر مـ أو ح إنها كوشية أو أساسية إذا تحقق ما يلي: مقابل أي عدد منطق أو حقيقي هـ > 0 يمكن أن يعين عدد طبيعي نهـ بحيث يقتضي تحقق المتراجحة ن≥ م ≥ نهـ تحقق المتراجحة |سن_سم|<هـ، ، ويقال عن متتالية (سن) من مـ (أو من ح) إنها متقاربة فيها إذا وجد عدد ل من مـ (أو من ح) بحيث يتحقق مايلي: مقابل أي عدد منطق أو حقيقي هـ > 0 يمكن أن يعين عدد طبيعي نهـ بحيث يقتضي تحقق المتراجحة ن ≥ نهـ تحقق المتراجحة |س_ ل| <هـ. يدعى هذا العدد ل نهاية المتتالية (سن)، ويكتب نهان !هـ سن= ل. ومن الواضح أن كل متتالية متقاربة في مـ (أو ح) تكون كوشية، وتنص خاصة التمام على صحة العكس في ح. العدد e
التقريب العشري لعدد حقيقي
استناداً إلى أرخميدية ح يمكن القول إنه أياً كان س Э ح فثمة عدد صحيح وحيد م يحقق م≤ س≤ م +1 يدعى الجزء الصحيح لـ س، ويكتب [س]=م. وعلى هذا فإن [3.14]=3 و [-3.14]= -4 وهكذا... ليكن الآن س عدداً حقيقياً ون عدداً طبيعياً. إن س×10ن عدد حقيقي، ولذا فإنه يوجد عدد صحيح وحيد من يحقق من ≤ س×10ن<1+من ومن ذلك ينتج أن من × 10-ن ≤ س< (1+من)×10-ن يدعى العدد سن =من ×10-ن القيمة العشرية التقريبية للعدد س (بالنقصان) [بينما ندعو صن = (1+من) × 10-ن القيمة العشرية التقريبية للعدد س بالزيادة] وبخطأ لايتجاوز 10-ن. ويشار هنا إلى أن المتتاليتين (سن) و(صن) متجاورتان، أي أنهما تحققان مايلي: سن≤س ن+1 ≤ ص ن+1 ≤ صن وَ نها ن!¥ (صن- سن) = نهان!¥ 10-ن = \ ويقتضي ذلك أن كل عدد حقيقي هو نهاية لمتتالية من عناصر مـ. يعبر عن ذلك بالقول: إن مـ كثيفة في ح.
التمثيل الهندسي للأعداد الحقيقية
يمكن أن تمثل مجموعة الأعداد الحقيقية بنقط مستقيم كما يلي: لتكن أولاً نقطة م على مستقيم D (يسمى المستقيم العددي) ويمثل بها العدد الحقيقي صفر (0)، ثم تؤخذ نقطة ثانية و(على يمين م مثلاً) ويمثل بها العدد الحقيقي واحد (1). ويقبل أنه يمكن أن يقابل أي عدد حقيقي س بنقطة وحيدة تدعى صورة س، كما يمكن أن تقابل أي نقطة هـ من D بعدد حقيقي وحيد سهـ يدعى فاصلة النقطة هـ.
[center]
